Создать PDF Рекомендовать Распечатать

Временные графы финансовых процессов как инструмент асимптотической оценки кредитных рисков и их страхования

  • Автор (авторы):
    Подшибякин Дмитрий Владимирович
  • Дата публикации:
    27.04.13
  • ВУЗ ИЛИ ОРГАНИЗАЦИЯ:
    Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Временные графы финансовых процессов как инструмент асимптотической оценки кредитных рисков и их страхования

 

Подшибякин Дмитрий Владимирович

аспирант кафедры «Экономическая информатика»

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

e-mail: dimitry.neskazhu@yandex.ru

 

 Аннотация

 Разработана модель оценки кредитных рисков, учитывающая сложность протекания во времени финансового процесса с точки зрения вертикальных и горизонтальных связей, что позволяет разложить протекающий во времени финансовый процесс погашения долга настолько детально, насколько это необходимо кредитору. Модель использует инструменты теории графов, а также асимптотические оценки для кредитного процесса, развивающегося на основе сложного процента. Полученные результаты используются для разработки методик страхования кредитных рисков, на основе которых возможно скорректировать страховую поддержку кредитора для защиты от возможного негативного проявления кредитного риска, в зависимости от более или менее благоприятного сценария развития кредитного процесса.

 Ключевые слова: временной граф финансового процесса, весы физического времени, размерность финансового процесса во времени, кратный эффект, степенной эффект, асимптотическая оценка кредитных рисков

 Abstract

The model of an assessment of the credit risks, considering complexity in time of financial process from the point of view of vertical and horizontal relations that allows to spread out financial process of repayment of a debt proceeding in time so in details as far as it is necessary for the creditor is developed. The model uses tools of the theory of graphs, and also asymptotic estimates for the credit pro-cess developing on the basis of compound interest. The received results are used for development of techniques of insurance of credit risks on the basis of which it is possible to correct insurance support of the creditor for protection against pos-sible negative manifestation of credit risk, depending on more or less favorable scenario of development of credit process.

 Keywords: the time graph of financial process, scales of physical time, dimension of financial process in time, multiple effect, exponential effect, an asymptotic assessment of credit risks

 1. Введение

 Всякий финансовый процесс, который протекает во времени по принципу постепенного наращения (компаудинга), с нашей точки зрения можно представить в графическом виде, с помощью специального временного графа.

 Исторически данный вид моделирования восходит к выдающемуся отечественному математику, академику Владимиру Игоревичу Арнольду (1937-2010), который создал теорию монад. Под монадой подразумевалось отображение конечного числового множества само в себя. Геометрический смысл монады представлялся соответствующим графом, в котором выделялись циклы, аттракторы и деревья. Используя геометрию монад, Арнольд подошел к определению сложности числовой последовательности, согласно которому следует «…считать объект… более сложным, если длина цикла содержащей его компоненты графа больше. В пределах компонент с циклами данной длины вершины будут… тем более сложными, чем дальше они удалены от цикла». [1]

 Мы используем аналогичный подход для оценки сложности протекания во времени финансовых процессов, учитывая, однако, их специфику. От построения графической модели сложности протекания во времени финансового процесса на основе временного графа мы перейдем к аналитической постановке проблемы. Данный подход позволит практикам решать многие важные задачи, такие как моделирование случаев невозврата кредита и средств защиты от них, оценка кредитоспособности заемщика и другие задачи, связанные с оценкой кредитных рисков. Рассматриваемая проблема является чрезвычайно актуальной для России, поскольку случаи невозврата кредита в российской практике весьма распространены, из-за чего страдают добросовестные вкладчики и заемщики. Кроме того, она представляет интерес и с научной точки зрения, поскольку многие задачи, связанные с оценкой кредитных рисков, по-прежнему остаются неразрешенными в современной финансовой науке.

 

 2. Модель временных графов: основные понятия, определения и правила построения

 

 Рассмотрим базовые понятия, которые лежат в основе предлагаемой нами методики оценки кредитных рисков.

 Временной граф – это графическая форма представления финансового процесса, которая отражает сложность данного процесса с точки зрения его протекания во времени.

 Состояние – это статичная характеристика финансового процесса, которая представлена в стоимостном выражении на определенный момент времени. Пример: сумма на банковском счете в момент времени n.

Чем больше возможных состояний, тем больше сложность финансово-го процесса с точки зрения его протекания во времени.

 Этаж – это определенный уровень иерархии в описании финансового процесса, который показывает глубину детализации данного процесса во времени.

Временной граф будем считать построенным, если удалось выделить хотя бы первый этаж.

 Корень временного графа – это специфический этаж, который лежит в основе всего временного графа, с которого начинается его построение. Корень временного графа предполагает отсутствие иерархии вовсе, т.е. там представлен результат финансового процесса без разбиения данного процесса во времени. В теории графов его аналогом выступает петля. [4]

 Корень временного графа будем называть нулевым этажом. Таким об-разом, минимальное число этажей в составе временного графа по определе-нию равно двум (корень временного графа и первый этаж).

 Вертикальные связи – это связи между состояниями, которые определяются в рамках данного этажа. Они демонстрируют порядок соподчинения состояний в рамках данного этажа (цепочка состояний).

 Горизонтальные связи – это связи между состояниями, которые определяются между различными этажами. Они демонстрируют степень сложности, с которой протекает во времени данный финансовый процесс.

 Отметим, чтосуществование вертикальных и горизонтальных связей – факт, который давно замечен в общественных и социальных науках. Так, в экономике рассматривается вертикальное и горизонтальное разделение тру-да, в менеджменте – вертикальные и горизонтальные связи в рамках органи-зационной структуры фирмы, также выделяются понятия вертикальной и го-ризонтальной диверсификации. Поэтому мы считаем необходимым включе-ние в модель оценки финансового процесса аналогичный подход.

 Начальное состояние – это исходное состояние, с которого на-чинается построение цепочки состояний в рамках данного этажа.

 

 Конечное состояние – это финальное состояние, которым за-канчивается построение цепочки состояний в рамках данного этажа.

 

 Промежуточные состояния – это состояния, которые связывают начальное и конечное состояния в цепочке состояний, определенной в рамках данного этажа.

Очевидно, корень временного графа не имеет промежуточных состоя-ний по определению. Начальное и конечное состояния в нем совпадают.

Основные понятия и определения теории временных графов сформули-рованы. Теперь перейдем к формулированию основных правил, описываю-щих построение временных графов и оценку числа имеющихся в нем связей.

 

 Правило составления временных графов. Конечные состояния на различных этажах должны быть равны друг другу.

 Данное правило позволяет добиться сопоставимости различных этажей между собой. В противном случае сопоставление этажей следует признать некорректным.

 

 Правило оценки числа связей. Число горизонтальных связей, относящихся к данному этажу, определяется по горизонтальным связям, которые входят (примыкают) в состояния данного этажа. Число вертикальных связей, относящихся к данному этажу, определяется последовательно, по порядку прохождения цепочки состояний.

Последнее правило станет базой для обоснования конкретных методов оценки связей в составе временного графа, что в свою очередь станет основой для определения степени сложности, с которой протекает данный финансовый процесс во времени.

Рассмотрим простейший пример построения временного графа. Банковский вклад рассчитан на три года, ставка процента годовая, начисление процентов производится раз в полугодие. Соответствующий временной граф изображен на рис. 1.

 

 

Рис. 1. Простейший пример построения временного графа

 

 На рис. 1 состояния обозначены кружками, вертикальные связи – стрелками, горизонтальные связи – линиями без стрелок. Начальные состоя-ния на всех этажах обозначены 1. Обозначения конечных состояний: на нуле-вом этаже – 1; на первом этаже – 3; на втором этаже – 6. Промежуточные состояния обозначены: на первом этаже – 2; на втором этаже – от 2 до 5. Ну-левой этаж соответствует представлению о банковском вкладе как о целост-ном объекте, без изучения процесса его формирования во времени. Первый этаж отражает процесс накопления суммы на банковском вкладе в динамике по годам. Второй этаж демонстрирует аналогичный процесс, но уже в дина-мике по полугодиям.

 

 3. Теоремы об оценке числа связей временных графов и их применение

 

 Сформулируем теоремы, связанные с оценкой числа связей в составе временного графа.

 

 Теорема 1. Число вертикальных связей в корне временного графа тождественно равно единице.

 

Доказательство. По определению вертикальная связь соединяет начальное, конечное и промежуточные состояния в составе этажа. В корне временного графа по определению начальное и конечное состояния совпадают, а промежуточные отсутствуют. Следовательно, число вертикальных связей в корне временного графа всегда будет равно единице. Что и требовалось доказать.

 

 Теорема 2. Число горизонтальных связей в корне временного графа тождественно равно нулю.

 

 Доказательство.Согласно правилу оценки числа связей, число горизонтальных связей этажа определяется теми горизонтальными связями, которые входят в него от предшествующего этажа. Корень временного графа не имеет предшествующих этажей. Следовательно, число горизонтальных связей в корне временного графа всегда будет равно нулю. Что и требовалось доказать.

 Во многих задачах из области финансов за единицу измерения времени принят календарный год. Будем называть календарный год физическим временем. Пусть величина m показывает, на сколько частей разбивается календарный год с целью изучения динамики некоторого финансового процесса. (Выбор значения m зависит от специфики конкретной рассматриваемой задачи.) Тогда имеют место следующие теоремы.

 

 Теорема 3. На первом этаже число горизонтальных связей равно t, где – показатель физического времени (число лет). Число вертикальных связей на первом этаже равно .

 

 Теорема 4. На втором этаже число горизонтальных связей равно mt, а для вертикальных связей оно равно , где m – показатель дробления физического времени.

Утверждения теорем 3 и 4 следуют непосредственно из определений горизонтальных и вертикальных связей. В частности, на рис. 1 число горизонтальных связей на первом этаже равно 3, на втором этаже оно равно 6. Соответственно, число вертикальных связей на рис. 1 для первого этажа равно 2, для второго этажа оно равно 5.

 

 Теорема 5. Общее число горизонтальных связей временного графа не может быть меньше величины t.

 Утверждение теоремы 5 следует из содержания теоремы 2, теоремы 3 и определения временного графа.

 

 Теорема 6. Общее число вертикальных связей временного графа не может быть меньше величины t.

 

 Доказательство. Теорема 3 утверждает, что число вертикальных связей на первом этаже равно . Из теоремы 1 следует, что к этому числу нужно прибавить единицу: . Что и требовалось доказать.

 

 Теорема 7. Общее число связей всех видов для временного графа не может быть меньше величины 2t.

 

 Доказательство. Минимальная сумма горизонтальных и вертикальных связей временного графа, как следует из теорем 5 и 6, составляет . Что и требовалось доказать.

 Сформулируем еще одну теорему, которая имеет большое значение для теоретического обоснования и практического применения временных графов.

 

 Теорема 8. Число горизонтальных и вертикальных связей временного графа растет с увеличением детализации во времени финансового процесса, и при неограниченной детализации оно не имеет ограничений роста.

 

 Доказательство. Необходимо установить соотношение между числом связей каждого вида и числом этажей временного графа. Покажем, что речь идет о линейном соотношении.

 1. Для горизонтальных связей. На нулевом этаже их число равно нулю. На первом этаже их число равно t. На втором этаже оно будет равно mt, где m – показатель дробления физического времени. На третьем этаже оно будет равно kmt, где k – показатель дальнейшего дробления времени. Со-ответственно, на j-м этаже оно будет равно p…kmt, где p – показатель дробления времени на j-м этаже. Обозначим множители-константы перед t как с, тогда получаем, что

, , ,

 где – число горизонтальных связей. Соотношение носит линейный ха-рактер.

 2. Для вертикальных связей. На нулевом уровне имеется одна вертикальная связь. На первом этаже число вертикальных связей равно . На втором этаже - . На третьем этаже - , где k – показатель дальнейшего дробления времени. Соответственно, на j-м этаже оно будет равно , где p – показатель дробления времени на j-м этаже. Обозначим множители-константы перед t как с и учтем, что необходимо добавить вертикальную связь на нулевом этаже (прибавляем ее как свободный член), тогда получаем, что

 

, , ,

 где – число вертикальных связей. Соотношение носит линейный характер и от предыдущего ничем не отличается. Таким образом, число горизонтальных и вертикальных связей при появлении новых этажей возрастает, и этот процесс описывается линейной функцией. Что и требовалось доказать.

 Из курса высшей математики известно, что линейная функция не имеет абсолютного экстремума на всей области своего определения. Однако в случае ограниченности на отрезке, который принадлежит области определения, линейная функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах данного отрезка. [2] Отсюда следует, что для дальнейшего развития и применения временных графов необходимо ограничить количество этажей, которое принимается к рассмотрению. Назовем это правилом жесткой ограниченности при построении временного графа.

 

 Правило жесткой ограниченности. При построении временного графа необходимо следить, чтобы количество этажей в его составе было максимально ограничено. В противном случае существует опасность переусложнить моделирование финансового процесса.

 По нашему мнению, наиболее полезны с практической точки зрения временные графы, в которых выделено три этажа. Нулевой этаж представляет собой корень временного графа. Первый этаж представляет дробление финансового процесса с точки зрения физического времени (разбивка по годам). Второй этаж отражает запланированное субъектами рынка дробление физического времени (разбивка годов на полугодия, либо кварталы и т.д., исходя из интенсивности протекания финансового процесса). Возможное дополнительное дробление времени при неблагоприятном развитии событий, нарушающем планы субъектов рынка (невозврат кредита, изменение условий кредитования и т.п.) будем отражать посредством изменений в состояниях на том или ином этаже, либо введением дополнительных горизонтальных связей. Такой подход заложит необходимую основу для разработки асимптотической оценки кредитного риска и ее аналитического инструментария, которым мы будем пользоваться в дальнейшем.

 

 4. Аналитическая постановка задачи о сложности протекания  

во времени финансового процесса с целью оценки кредитных рисков

 

 

 Перейдем к аналитической постановке проблемы изучения сложности финансового процесса во времени. Для этого введем понятие общего закона весов физического времени:

, (1)

 где W - обозначение весов времени. Пример: полугодие записывается как 1/2, поскольку календарный год был принят за единицу времени. Это соответствует временному графу с тремя этажами, в роли первого этажа выступает год (нулевой этаж аналогичен первому), а в роли второго этажа – два полугодия, что по своей сути аналогично картине на рис. 1.

 Пусть некоторый финансовый процесс развивается путем постепенного наращения (компаудинга). Тогда формулу наращения, по которой оно происходит на основе номинальной ставки процента, можно представить, выделив весы физического времени:

. (2)

 Таким образом, множитель наращения для номинальной ставки процента имеет вид

, (3)

 где m - показатель дробления физического времени, которого требует данный финансовый процесс. Описанный подход достаточно подробно рассмотрен в классической финансовой математике [3; 5].

 В настоящей статье будем рассматривать классический подход с более общих позиций, что позволит прийти к пониманию усложнения данного процесса во времени. Допустим, величина m отражает запланированное аналитиками (финансистами, экономистами-плановиками и др.) дробление физического времени. Однако реальная интенсивность финансового процесса такова, что развивается он в два раза быстрее запланированного. Это эквивалентно кратному уменьшению весов физического времени:

. (4)

 К примеру, планирование сумм кредита к возврату вместе с процентами на предприятии шло по полугодиям (), однако, в силу изменения условий кредитования, динамика процесса поменялась, и плановые по полугодию показатели достигались в среднем каждый квартал (), что означает ускорение кредитного процесса в 2 раза. Из курсов экономики и менеджмента известно, что цель в любом составленном плане – это желаемое состояние того или иного объекта. Иными словами, план, скорректированный с учетом реальности, несет в себе большее разнообразие состояний сумм кредита к уплате. В наших терминах это означает большую сложность поведения сумм кредита в плане, корректируемом с учетом последних изменений в условиях кредитования. Таким образом, на содержательном уровне мы убеждаемся, что увеличение скорости протекания финансового процесса непосредственно связано с увеличением его сложности, что полностью соответствует рассмотренным ранее понятиям временного графа. Однако необходимо аналитическое доказательство данного утверждения.

 Для его получения представляет интерес следующая теорема, которая имеет фундаментальное значение для оценки сложности протекания финансового процесса во времени.

 

 Теорема 9. Сложность протекания во времени финансового процесса, подчиняющегося формуле (2), неограниченно линейно растет при увеличении детализации во времени данного процесса.

 

 Доказательство. При формула (2) не работает, однако временной граф построить можно (он будет состоять из единственного нулевого этажа). Таким образом, мы убеждаемся в правильности теоретического обоснования теории временных графов, которая была рассмотрена нами ранее.

Рассмотрим сложность финансового процесса с точки зрения его протекания во времени при . В этом случае формула (2) преобразуется до вида

 

 что соответствует временному графу на рис. 2.

 

 

Рис. 2. Временной граф при m=1

 

 Число этажей временного графа равно 2. Число горизонтальных связей равно t. Будем говорить, что данный финансовый процесс имеет размерность . Соответственно, размерность во времени финансового процесса и ляжет в основу определения степени сложности его протекания.

 При сложность изучаемого финансового процесса с точки зрения его протекания во времени равна . Действительно, формула (2) в этом случае преобразуется до вида

 

 что соответствует временному графу на рис. 3.

 

 

Рис. 3. Временной граф при m=2

 

 Число этажей увеличилось до 3. Число горизонтальных связей увеличилось до . Таким образом, размерность данного финансового процесса во времени равна

 Рассуждая аналогичным образом, можно вывести таблицу, демонстрирующую, как меняется размерность финансового процесса во времени с увеличением детализации его изучения во времени. В ней следует отразить возможные степени детализации финансового процесса во времени, соответствующее количество этажей временного графа для той или иной степени детализации, а также размерность во времени, которую приобретает финансовый процесс в данном случае. Результаты представлены в табл. 1.

 

Таблица 1. Связь между детализацией во времени и размерностью  

во времени изучаемого финансового процессаpod1

 

 

 

 Табл. 1 составлена, исходя из правила жесткой ограниченности для числа этажей, которое было рассмотрено и обосновано нами ранее. Можно заметить, что формула, определяющая размерность финансового процесса во времени при , имеет вид

(5)

 где – размерность финансового процесса во времени, демонстрирующая его сложность (от англ. difficulty), которая определена для заданного показателя дробления физического времени , при ограничении числа этажей до 3. Таким образом, с увеличением детализации во времени размерность финансового процесса во времени растет, при этом речь идет о линейном росте. Что и требовалось доказать.

 Руководствуясь данной мыслью, обратим внимание на тот факт, что весы физического времени можно преобразовывать не только в сторону уменьшения или увеличения кратности, т. е.

, (6)

но и в более общем виде:

. (7)

 Классическая финансовая математика предполагает по умолчанию показатели кратности и степени при m единичными, т. е. и . Если будем рассматривать a и b как неизвестные величины, которые могут принимать различные значения, то придем к пониманию новых разделов финансовой математики. Будем называть а кратным эффектом, b - степенным эффектом. Данные коэффициенты символизируют разный уровень «нагнетания событий», т. е. роста скорости процесса или, напротив, его торможения. Их оценка поможет субъектам рынка подготовиться к незапланированным ранее сценариям событий, когда происходящие финансовые процессы начинают неожиданно ускоряться (тормозиться) в разы.

 Добавим в формулу (5) кратный и степенной эффекты на основе выражения (7), рассматривая их как факторы риска. Тогда получаем

(8)

 где - размерность во времени финансового процесса с учетом факторов риска. Данная формула представляет собой закон сложности протекания финансового процесса во времени с учетом факторов риска. Формула (8) будет полезна далее, когда речь пойдет о практическом применении различных методик страхования кредитных рисков.

 Чтобы перейти к точной постановке задачи, связанной со страхованием кредитных рисков, подставим выражение (7) в формулу (2). В итоге получаем, что

. (9)

 

 Сформулируем рассматриваемую далее аналитическую задачу оценки кредитных рисков. Пусть рассматривается кредитный процесс, который протекает в течение заданного периода времени () по принципу наращения с известной изначально современной стоимостью () и предполагаемым показателем динамики (). Аналитиком задан уровень дробления физического времени относительно данного процесса (). Тогда необходимо добиться того, чтобы при возможном ускорении или торможении кредитного процесса субъекты рынка оказались готовы к этому (если не полностью на 100%, то хотя бы частично). Другими словами, необходимо смоделировать поведение кредитного процесса, подчиняющегося формуле (9). Решение такой задачи предполагает изучение раздельного и совместного влияния факторов усложнения процесса во времени с последующей их интерпретацией, исходя из конкретной специфики рассматриваемой задачи. Для задач, связанных со страхованием кредитных рисков, наибольший интерес представляют асимптотические оценки для формулы (9), их мы и рассмотрим далее. Соответствующие расчеты будем называть асимптотической оценкой кредитных рисков.

 

 5. Пример асимптотической оценки кредитных рисков в случае  

кредитования физических лиц

 

 

 Рассмотрим следующий примерприменения описанной выше задачи оценки кредитных рисков. Заемщик - физическое лицо - взял кредит сроком на 3 года, размер кредита составляет 10 000 ден. ед., ставка 11% годовых. Погашение кредита планируется осуществить шаровым платежом. Начисление процентов по кредиту производится раз в полугодие, от накопленной к тому времени суммы. Вместе с тем существуют подозрения в возможности невозврата кредита заемщиком либо того, что условия кредитования будут пересмотрены кредитором. Чтобы моделировать подобные сценарии развития событий, мы допускаем неизвестные параметры a и b, обозначив их для удобства как x и y соответственно. В итоге мы получаем следующее уравнение наращения кредита с учетом возможных незапланированных заранее событий, ведущих к пересмотру исхода кредитования:

, (10)

 где Z - сумма кредита к концу срока с процентами.

 Прежде всего, оценим сложность протекания процесса кредитования физического лица во времени. Для этого вычислим меру сложности по формуле (5), откуда

 в случае отсутствия кредитных рисков. Однако, как было сказано в условии задачи, существуют опасения в возникновении ситуации невозврата кредита заемщиком либо того, что условия кредитования будут пересмотрены со стороны кредитора. Поэтому необходимо добавить в анализ факторы кредитных рисков – кратный и степенной эффекты. На основе формулы (8) получаем, что

, (11)

 где – размерность во времени процесса кредитования физического лица с учетом факторов кредитных рисков. Представляет интерес вопрос о том, какой из эффектов оказывает наибольшее влияние на сложность кредитного процесса – кратный или степенной. Чтобы ответить на данный вопрос, рассмотрим раздельное влияние эффектов – сначала полагая в выражении (11) (рис. 4), затем полагая (рис. 5). (Построение выполнено в программе «Matlab».)

 

Рис. 4. Раздельное влияние кратного эффекта х на сложность процесса кредитования физического лица

 

Рис. 5. Раздельное влияние степенного эффекта y на сложность процесса кредитования физического лица

 

 Мы видим, что влияние степенного эффекта на сложность кредитного процесса описывается экспоненциальной функцией, в то время как аналогичное влияние кратного эффекта задается линейной функцией. Следовательно, степенной эффект влияет на сложность процесса кредитования в разы сильнее по сравнению с кратным эффектом. Отсюда следует также вывод о том, что степенной эффект должен оказать более сильное влияние по сравнению с кратным эффектом и на итоговую сумму кредита. Чтобы убедиться в этом, изучим их раздельное влияние - сначала полагая в выражении (10) (рис. 6), а затем полагая (рис. 7). (Построение выполнено в программе «Matlab».)

 

Рис. 6. Графическая постановка задачи асимптотической оценки кредитных рисков для кратного эффекта х, раздельно влияющего на сумму кредита Z

 

Рис. 7. Графическая постановка задачи асимптотической оценки кредитных рисков для степенного эффекта у, раздельно влияющего на сумму кредита Z

 

 Полученные графики следует рассматривать как графическую постановку задачи об асимптотической оценке кредитных рисков в случае кредитования физического лица. Они полностью подтверждают наши выводы, полученные на основе анализа сложности данного кредитного процесса, отраженные на рис. 4 и 5.

 Очевидно, что кратный и степенной эффекты оказывают различное влияние на функцию наращения (10), что иллюстрируется соответствующими графиками. Однако, в конечном счете, влияния и кратного, и степенного эффектов стабилизируются на определенном уровне суммы кредита.

 График совместного влияния эффектов, построенный для функции двух переменных (10), выглядит аналогичным образом (рис. 8). (Построение выполнено в программе «Matlab».)

 

Рис. 8. Графическая постановка задачи асимптотической оценки кредитных рисков в случае действия эффектов х и у, совместно влияющих на сумму кредита Z

 

 Мы видим, что для совместного влияния обоих эффектов справедливы те же самые выводы, которые были сделаны нами для раздельного влияния эффектов: на определенном уровне суммы кредита происходит стабилизация, благодаря которой дальнейшее действие эффектов становится незаметным.

 Чтобы объяснить полученные выводы, рассмотрим предел, к которому стремится наращение суммы кредита при бесконечно большом действии эффектов. Размер кредита в случае предельного усложнения кредитного процесса во времени составляет (здесь и далее округление до сотых с избытком):

,

 а в общем случае для формулы (9) –

.

 

 6. Возможность применения модели для страхования кредитных рисков

 

 Таким образом, незапланированное усложнение процесса наращения процентов теоретически возможно, однако оно имеет определенные границы. Максимальное усложнение определяется величиной, которая представляет собой асимптотический коэффициент кредитных рисков, значение которого (до шести знаков после запятой) в предыдущем примере было равно:

,

 из-за чего при бесконечном усложнении во времени изучаемого кредитного процесса итоговая сумма кредита к уплате все равно достигает стабильного значения. Полученное выражение определяет предел усложнения во времени процесса начисления процентов по кредиту. При этом речь идет в равной мере и о кратном эффекте, и о степенном эффекте, и об их совместном влиянии. Графики на рис. 6, рис. 7 и рис. 8 полностью подтверждают полученные нами выводы.

 Отсюда вытекает необходимость определения базы страхования кредитных рисков через соответствующий асимптотический коэффициент. Дальнейшее развитие идеи страхования кредитных рисков асимптотическим методом может опираться на классические подходы в области страхования, такие, к примеру, как аннуитетный метод в актуарных расчетах. Рассмотрим возможности применения практических методик по асимптотическому страхованию кредитных рисков.

 Различные ситуации, возникающие в процессе кредитования физических лиц, могут потребовать существенно отличающихся друг от друга методов страхования кредитных рисков. Мы начнем рассмотрение данного вопроса с задачи максимально возможного страхования кредитных рисков.

 Прежде всего, нам необходимо оценить асимптотическую величину чистого кредитных рисков в абсолютном денежном выражении. В общем случае она будет равна

 где FV* – предельно усложненный во времени размер итоговой суммы кредита. Также полезно оценивать асимптотическую величину чистого кредитного риска в процентах к первоначальной стоимости кредита, тогда получаем

 В нашем примере итоговая сумма кредита с накопленными процентами при отсутствии действия какого-либо из усложняющих кредитный процесс эффектов будет равна

 поэтому асимптотическая величина чистых кредитных рисков в абсолютном выражении определяется величиной

 в процентном выражении к первоначальной сумме кредита она составляет

 Поскольку в банковской практике принято рассчитывать денежные потоки с разбивкой по месяцам, ежемесячный страховой платеж в нашем примере составит величину

.

 Найденная величина определяет тот размер денежной суммы, который следует рассматривать как необходимую страховую поддержку для защиты от максимально возможного действия кратного и степенного эффектов усложнения кредитного процесса во времени. Иными словами, мы определили опорную базу для метода максимально возможного страхования кредитных рисков.

 Полученные выводы соответствуют представлениям современной финансовой науки. Она рассматривает непрерывное наращение сложного процента во времени с точки зрения экспоненциальных зависимостей, близких к примененным нами формулам оценки кредитных рисков. Однако в современной финансовой науке отсутствует градация эффектов, которые способны повлиять на исход кредитного процесса. В то время как наша мо-дель оценки кредитных рисков допускает такую возможность, что становится заметно при сравнении рис. 6 и рис. 7. Кратный и степенной эффекты, как было отмечено ранее, оказывают различное влияние на итоговую сумму кредита – несмотря на то, что оба они приводят к одинаковому результату. Из сравнения рис. 6 и рис. 7 можно сделать вывод о более сильном раздельном влиянии степенного эффекта по сравнению с аналогичным влия-нием кратного эффекта.

 Степенной эффект можно охарактеризовать как эффект быстрого старта и медленного затухания (стабилизации), в то время как кратный эффект, напротив, представляет собой эффект медленного старта и быстрого затухания (стабилизации). Иными словами, степенной эффект можно рассматривать как модель бурного развития событий, изменяющих исход кредитования, в отличие от кратного эффекта, который дает модель незаметного изменения исхода кредитования. Исходя из этого, можно предложить две дополнительные методики страхования кредитного риска, которые будут уместны в ситуациях, когда максимально возможное страхование кредитных рисков по аннуитету, которое рассматривалось нами ранее, представляется для кредитора неоправданным.

 Методика, основанная на прогнозировании бурного развития событий, меняющих исход кредитования, может быть оправдана в случае повышенных рисков невозврата кредитов. В ее основе лежит представление о раздельном действии на итоговую сумму кредита со стороны степенного эффекта. Альтернативу ей составляет методика прогнозирования незаметного изменения исхода кредитования, которое, тем не менее, оказывает су-щественное для сторон кредитного процесса воздействие. В ее основе лежит представление о раздельном влиянии кратного эффекта на итоговую сумму кредита. Обе методики могут быть реализованы на практике с использованием методов имитационного моделирования, например, с использованием метода Монте-Карло.

 Очевидно, что отдельного рассмотрения заслуживают случаи, когда происходит воздействие на итоговую сумму кредита малыми значениями кратного эффекта или большими его значениями. В первом случае будет иметь место занижение итоговой суммы кредита, что следует рассматривать как моделирование частичного невозврата кредита со стороны заемщика. Отсюда следует, что показатели кредитных рисков в абсолютном и относительном выражении соответственно в случае малых значений кратного эффекта имеют вид

 Во втором случае, наоборот, возникает завышение итоговой суммы кредита, что следует рассматривать как моделирование возможного пересмотра условий кредитования со стороны кредитора (добавление дополнительных процентов к уплате, комиссионных и т. п.), естественно, в случае оговоренности в кредитном договоре возможности подобных пересмотров. Тогда искомые показатели кредитных рисков задаются выражениями

 Каждый из описанных выше случаев требует проведение имитационного моделирования с последующим анализом результатов, на основе которых становится возможна разработка сценариев действий для кредитора или заемщика. Пример моделирования для малых значений кратного эффекта () представлен в табл. 2.

 

Таблица 2. Имитация методом Монте-Карло для малых значений кратного эффекта

pod2

 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло в случае раздельного действия малых значенийкратного эффекта в графическом виде представлены на рис.9.

Рис. 9. Графическое представление результатов имитационного моделирования для малых значений кратного эффекта

 

 Аналогичный расчет, произведенный для больших значений кратного эффекта (), представлен в табл. 3.

 

Таблица 3. Имитация методом Монте-Карло для больших значений кратного эффекта

pod3

 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло в случае раздельного действия больших значенийкратного эффекта в графическом виде представлены на рис.10.

 

Рис. 10. Графическое представление результатов имитационного моделирования для больших значений кратного эффекта

 

 Моделирование для малых и больших значений степенного эффекта строится по аналогичным принципам. Результатом становится имитация более мощного воздействия на итоговую сумму кредита со стороны факторов, которые выступают источниками повышенных кредитных рисков.

 

 7. Заключение

 

 Представленная методика может быть полезна для работников банковских учреждений, страховых компаний и финансовых аналитиков, занимающихся вопросами кредитных рисков и способами защиты от них. Она помогает моделировать незапланированные изначально перемены в условиях кредитования и страховаться от них.

 

Библиографический список

 

  1.  Арнольд В. И. Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств (доклад Московскому математическому Обществу 22 ноября 2005 г.). Режим доступа: http://elementy.ru/lib/430178/430282.
  2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник/Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В.Ломоносова. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дело и Сервис, 2004. – 368 с.
  3. Криничанский К.В. Финансовая математика: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дело и Сервис, 2011. – 336 с.
  4. Палий И.А. Дискретная математика. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2008. – 352 с.
  5. Четыркин Е. М. Финансовая математика: учебник. – 4-е изд. М.: Дело, 2004. – 400 с.

 

  vakperechen

ОБНОВЛЕННЫЙ СПИСОК ВАК 2016 г.
ОТ 19.04.2016  >> ПРОСМОТРЕТЬ
tass
 
ПО ВОПРОСАМ ПУБЛИКАЦИИ СТАТЕЙ И СОТРУДНИЧЕСТВА ОБРАЩАЙТЕСЬ:
skype SKYPE: vak-uecs
e-mail
MAIL: info@uecs.ru
phone
+7 (928) 340 99 00
 

АРХИВ НОМЕРОВ

(01) УЭкС, 1/2005
(02) УЭкС, 2/2005
(03) УЭкС, 3/2005
(04) УЭкС, 4/2005
(05) УЭкС, 1/2006
(06) УЭкС, 2/2006
(07) УЭкС, 3/2006
(08) УЭкС, 4/2006
(09) УЭкС, 1/2007
(10) УЭкС, 2/2007
(11) УЭкС, 3/2007
(12) УЭкС, 4/2007
(13) УЭкС, 1/2008
(14) УЭкС, 2/2008
(15) УЭкС, 3/2008
(16) УЭкС, 4/2008
(17) УЭкС, 1/2009
(18) УЭкС, 2/2009
(19) УЭкС, 3/2009
(20) УЭкС, 4/2009
(21) УЭкС, 1/2010
(22) УЭкС, 2/2010
(23) УЭкС, 3/2010
(24) УЭкС, 4/2010
(25) УЭкС, 1/2011
(26) УЭкС, 2/2011
(27) УЭкС, 3/2011
(28) УЭкС, 4/2011
(29) УЭкС, 5/2011
(30) УЭкС, 6/2011
(31) УЭкС, 7/2011
(32) УЭкС, 8/2011
(33) УЭкС, 9/2011
(34) УЭкС, 10/2011
(35) УЭкС, 11/2011
(36) УЭкС, 12/2011
(37) УЭкС, 1/2012
(38) УЭкС, 2/2012
(39) УЭкС, 3/2012
(40) УЭкС, 4/2012
(41) УЭкС, 5/2012
(42) УЭкС, 6/2012
(43) УЭкС, 7/2012
(44) УЭкС, 8/2012
(45) УЭкС, 9/2012
(46) УЭкС, 10/2012
(47) УЭкС, 11/2012
(48) УЭкС, 12/2012
(49) УЭкС, 1/2013
(50) УЭкС, 2/2013
(51) УЭкС, 3/2013
(52) УЭкС, 4/2013
(53) УЭкС, 5/2013
(54) УЭкС, 6/2013
(55) УЭкС, 7/2013
(56) УЭкС, 8/2013
(57) УЭкС, 9/2013
(58) УЭкС, 10/2013
(59) УЭкС, 11/2013
(60) УЭкС, 12/2013
(61) УЭкС, 1/2014
(62) УЭкС, 2/2014
(63) УЭкС, 3/2014
(64) УЭкС, 4/2014
(65) УЭкС, 5/2014
(66) УЭкС, 6/2014
(67) УЭкС, 7/2014
(68) УЭкС, 8/2014
(69) УЭкС, 9/2014
(70) УЭкС, 10/2014
(71) УЭкС, 11/2014
(72) УЭкС, 12/2014
(73) УЭкС, 1/2015
(74) УЭкС, 2/2015
(75) УЭкС, 3/2015
(76) УЭкС, 4/2015
(77) УЭкС, 5/2015
(78) УЭкС, 6/2015
(79) УЭкС, 7/2015
(80) УЭкС, 8/2015
(81) УЭкС, 9/2015
(82) УЭкС, 10/2015
(83) УЭкС, 11/2015
(84) УЭкС, 11(2)/2015
(85) УЭкС,3/2016
(86) УЭкС, 4/2016
(87) УЭкС, 5/2016
(88) УЭкС, 6/2016
(89) УЭкС, 7/2016
(90) УЭкС, 8/2016
(91) УЭкС, 9/2016
(92) УЭкС, 10/2016
(93) УЭкС, 11/2016
(94) УЭкС, 12/2016
(95) УЭкС, 1/2017
(96) УЭкС, 2/2017
(97) УЭкС, 3/2017
(98) УЭкС, 4/2017
(99) УЭкС, 5/2017
(100) УЭкС, 6/2017
(101) УЭкС, 7/2017
(102) УЭкС, 8/2017
(103) УЭкС, 9/2017
(104) УЭкС, 10/2017
(105) УЭкС, 11/2017
(106) УЭкС, 12/2017
(107) УЭкС, 1/2018
(108) УЭкС, 2/2018
(109) УЭкС, 3/2018
(110) УЭкС, 4/2018
(111) УЭкС, 5/2018
(112) УЭкС, 6/2018
(113) УЭкС, 7/2018
(114) УЭкС, 8/2018
(115) УЭкС, 9/2018
(116) УЭкС, 10/2018
(117) УЭкС, 11/2018
(118) УЭкС, 12/2018
(119) УЭкС, 1/2019
(120) УЭкС, 2/2019

 Федеральная служба по надзору в сфере связи и массовых коммуникаций

№ регистрации СМИ ЭЛ №ФС77-35217 от 06.02.2009 г.       ISSN: 1999-4516