Создать PDF Рекомендовать Распечатать

Моделирование и оптимизация портфельных инвестиций в стохастических нестационарных условиях

  • Автор (авторы):
    Никонович Н.Н.
  • Дата публикации:
    13.08.10
  • № гос.рег.статьи:
    0421000034/0050

Моделирование и оптимизация портфельных инвестиций в стохастических нестационарных условиях

Аннотация: Построена оптимальная стратегия динамического размещения фондовых активов инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска. В явном аналитическом виде получены характеристики оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) в зависимости от рисковых премий, стохастических инвестиционных возможностей и функции полезности инвестора.

 

Ключевые слова: рисковые активы, финансовые инвестиции, стохастическая оптимизация

 

Abstract: Optimal investment strategy of dynamic asset allocation by a financial investor with power utility and constant degree of risk aversion. We derive an explicit analytical characterization of the optimal portfolio (speculative demand for risky assets and a hedge portfolio) in terms of risk premiums, stochastically evolving investment opportunities and investor’s utility function.

 

Keywords: risky assets, financial investments, stochastic optimization

in63@mail.ru 

Введение
Финансовые рынки в условиях глобализации современной экономики характеризуются различного рода нестационарными, кризисными  и катастрофическими явлениями [1-3].В таких условиях классические модели и методы финансовой математики [4,5] часто оказываются неадекватными. Так, в рамках классической портфельной теории невозможно разрешить такие проблемы несоответствия популярных рекомендаций фондовых консультантов теоретическим предсказанием, как парадоксы Самуэльсона [6] и Кеннера-Мэнкью-Вейла [7]. Парадокс Самуэльсона состоит в том, что, согласно советам фондовых консультантов, долгосрочные инвесторы должны размещать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные, а классическая теория не связывает оптимальное размещение активов с длиной инвестиционного горизонта. Кроме того, отношение долей капитала, размещаемого в облигации и акции, должно, согласно практическим рекомендациям, увеличиваться с ростом неприятия риска инвестором, что находится в противоречии с предсказанием теории об одном и том же отношении капитала, инвестированного в облигации и акции, для всех инвесторов (парадокс Кеннера-Менкью-Вейла).

 

В настоящей работе предложена непрерывная по времени динамическая стохастическая модель размещения рисковых активов (акций и облигаций), которая разрешает  одновременно оба указанных парадокса и находится в согласии с практическими рекомендациями финансовых аналитиков.

 
Экономико-математическая модель
Инвестор выбирает динамическую портфельную стратегию, максимизирующую ожидаемую полезность своего капитала 10_image002 на горизонте :
(1)

Функция полезности инвестора характеризуется постоянным относительным неприятием риска

где - коэффициент относительного неприятия риска. При имеем особый предельный случай логарифмической полезности .
Цены рисковых активов с учетом реинвестирования дивидендов эволюционируют согласно стохастическому дифференциальному уравнению
(2)
где - краткосрочная номинальная процентная ставка, - ожидаемая избыточная доходность по акциям, - волатильность цен активов, - винеровский случайный процесс. Избыточная доходность по акциям описывается уравнением Орнштейна - Уленбека
, (3)

где - долгосрочная рисковая премия, - параметр релаксации к установивишемуся значению, - волатильность избыточной доходности. Предполагаем, что цена актива и рисковая премия идеально отрицательно коррелированы.
Динамика номинальной процентной ставки описывается процессом Орнштейна – Уленбека
,                                               (4)
где - среднее значение процентной ставки на большом временном интервале, - скорость релаксации, - волатильность процентной ставки. Предполагаем, что два основных винеровских процесса и , генерирующих динамику цен рисковых активов, коррелированы с постоянным коэффициентом корреляции .

Динамика цены облигации описывается стохастическим дифференциальным уравнением
(5)
где , , а - эластичность цены облигации относительно краткосрочной процентной ставки, которая называется модифицированной дюрацией и является индикатором процентного риска облигаций.
Итак, финансовый агент имеет возможность инвестировать капитал в три вида активов: безрисковый актив (банковский счет), акции и облигации. Вариационно-ковариационная матрица имеет вид
(6)
где .
Инфляция в экономике моделируется следующим образом. Номинальная цена реального потребительского товара в экономике в момент составляет . Реальная цена любого актива в экономике поэтому определяется дефляцией индекса цен . Реальная цена акций, например, равна . Динамика номинальной цены потребительского товара определяется следующей системой стохастических дифференциальных уравнений
, (7)
, (8)
где - ожидаемая ставка инфляции, описывает долгосрочную среднюю скорость инфляции, - скорость релаксации к своему среднему значению, - волатильность инфляционной процентной ставки, - волатильность индекса цен (фактически определяет темп краткосрочной инфляции в экономике). Изменения номинального индекса цен и инфляционной ставки коррелированы с доходностью акций и процентными ставками. Например, ковариация между доходностью акций и уровнем цен равна , ковариация между доходностью акций и скоростью инфляции равна , и т.д.
 
Решение задачи оптимизации портфельных инвестиций
В предположении, что неявная функция полезности дважды непрерывно дифференцируема, запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче максимизации ожидаемой полезности (1)
,  (9)
где , , , , , причем неявная функция полезности должна удовлетворять граничному условию при : . Вектор портфельных весов (штрих означает транспонирование) представляет собой доли капитала, инвестированного в акции и номинальные облигации, соответственно. Оставшаяся часть капитала , где , инвестируется в банковский счет. Условие первого порядка задачи (9) дает следующее распределение оптимальных пропорций размещения капитала в рисковые активы:

.     (10)

Первое слагаемое в (10) представляет собой спекулятивную часть портфеля («близорукий» спрос), который оптимален для инвестора с логарифмической полезностью. Следующие четыре слагаемых в (10) описывают, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей, которые в рассматриваемом контексте включают изменения ожидаемых избыточных доходностей (второе слагаемое в (10)), номинальных процентных ставок (третье слагаемое), а также изменения будущих темпов инфляции (четвертое слагаемое) и краткосрочной инфляции (пятое слагаемое). Заметим, однако, что хотя пятое слагаемое в (10) исчезает для инвестора с логарифмической полезностью, он будет в общем случае отличен от нуля при  спекулятивном спросе инвестора с нелогарифмической полезностью. Поэтому, строго говоря, пятое слагаемое не является составляющей межвременного спроса на хеджирование, а есть часть оптимального близорукого портфеля инвестора. Как и в рамках статического подхода, основанного на математическом ожидании и дисперсии, «близорукий» инвестор комбинирует портфель рисковых активов, выбираемый инвестором с логарифмической полезностью, с другим портфелем на статической границе эффективности. Фактически пятое слагаемое в (10) может быть отождествлен с портфелем минимальной дисперсии при условии, что доходности вычисляются в реальном выражении; это непосредственно устанавливается минимизацией выражения для в (9) относительно портфельных весов .
Второе слагаемое в выражении (10) описывает хеджирование против изменений будущих ожидаемых доходностей акций. Используя соотношение
,
преобразуем эту часть портфеля следующим образом
.
Оптимальное хеджирование против изменений ожидаемой избыточной доходности акций полностью достигается, таким образом, инвестированием только в акции; облигации для этой цели вообще не используются. Этот результат имеет место благодаря предположению об идеальной отрицательной корреляции между динамическим процессами, определяющими эволюцию цен акций и избыточной доходности .
Аналогично, третье слагаемое в (10), описывающее хеджирование против номинальной процентной ставки, с использованием соотношения

переписывается следующим образом
.
Следовательно, оптимальное хеджирование против изменений процентной ставки достигается инвестированием целиком в облигации (доходность по которым идеально отрицательно коррелирована с краткосрочной процентной ставкой).
Оптимальное размещение активов инвестора, характеризующегося постоянным относительным неприятием риска с коэффициентом устанавливается следующим Утверждением.
Утверждение.
1. Неявная функция полезности , являющаяся решением уравнения (9), имеет вид

(11)

где есть решение обыкновенного дифференциального уравнения с условием ,

, , ,
где
, , ,
и

где
, ,
, ,
и .

2. Вектор оптимального размещения рисковых активов в момент определяется выражением

(12)

Оставшаяся часть капитала инвестируется в банковский счет.
Доказательство. Подставляя пробное решение в неопределенной форме вида (11) в уравнение, определяющее портфельный выбор (10), получаем условие (12). Подстановка оптимального условия размещения активов (12) в уравнение Беллмана (9) приводит к уравнению, которое линейно по и и квадратично по ; его пять коэффициентов должны равняться нулю, что дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
,
,
,

,
для каждого из коэффициентов при , , и , а также обыкновенное дифференциальное уравнение для , следующее из условия равенства нулю суммы остальных членов этого уравнения. Решения для функций и , как следует из Предложения, существуют лишь при условии . Нетрудно показать, что это неравенство эквивалентно условию .
Спекулятивная позиция инвестора, описываемая первым слагаемым в выражении (12), зависит от нестационарной ожидаемой избыточной доходности акций , и это вводит время в спекулятивную стратегию. В частности, поскольку ожидаемая избыточная доходность идеально отрицательно коррелирована с ценой акций, спекулятивная стратегия состоит в сокращении позиции по акциям после роста их цен и в увеличении позиции в случае падения цен акций. Спекулятивная (близорукая) стратегия соответствует игнорированию инвестором изменений инвестиционных возможностей. Это ясно видно, если положить волатильности , , и равными нулю: тогда набор инвестиционных возможностей постоянен, и составляющие в оптимальном размещении, соответствующие хеджированию, исчезают.
Вторая и четвертая составляющие в выражении (12) оправдывают популярные рекомендации инвесторам с большим инвестиционным горизонтом размещать большую часть капитала в рисковые акции. На более формальном уровне, точное влияние инвестиционного горизонта на размещение акций в рассматриваемой постановке описывается производной по времени от оптимального размещения а акции в (12). Пусть обозначает остающийся временной горизонт для инвестора в момент . Дифференцируя выражение для в (12) по временному горизонту , получаем
(13)
Первое слагаемое в соотношении (13) соответствует влиянию инвестиционного горизонта, связанному с релаксацией ожидаемой избыточной доходности акций к долгосрочной рисковой премии согласно стохастическому процессу (3). Второе слагаемое в (13) описывает эффект инвестиционного горизонта, связанный с использованием акций для хеджирования инфляционного риска долгосрочными инвесторами. В случае, если первая производная в (13) положительна, это означает, что долгосрочные инвесторы должны оптимально инвестировать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные инвесторы, что находится в согласии с популярными рекомендациями финансовых аналитиков [7].

Знак первого слагаемого в (13) зависит от знаков производных по времени и (, поскольку ). При отсутствии неопределенности процентных ставок и инфляции нетрудно показать, что производные и положительны, т.е. первое слагаемое положителен для всех значений параметров при положительных значениях переменной избыточной доходности . В общем случае анализ существенно усложняется в связи с неопределенностью процентных ставок, скорости инфляции и возможности инвестирования в облигации. Однако, непосредственное дифференцирование выражения для показывает, что производная положительна. Поэтому при достаточно большой ожидаемой избыточной доходности весь первый член (13) будет положителен. Это означает, что долгосрочные инвесторы должны инвестировать больше в акции, чем краткосрочные.
Поскольку производная положительна, знак второго слагаемого в (13) полностью определяется знаком выражения . Поэтому инфляционный риск вызывает большее размещение капитала в акции для долгосрочных инвесторов тогда и только тогда, когда . В этом случае относительно высокая корреляция между ценой акций и темпом инфляции делает акции подходящим инструментом для хеджирования долгосрочного инфляционного риска (сравнительно с номинальными облигациями) в том смысле, что если имеют место высокие темпы инфляции, угрожающие привести к низким реальным доходностям в инвестиционный период, и поэтому динамика акций в этом случае приближается к поведению долгосрочной реальной облигации. Заметим, что помимо параметров, влияющих на знак второго слагаемого в (13), параметр определяет различие между размещением акций для близорукого и долгосрочного инвесторов с одинаковым относительным неприятием риска, а также “скорость” этого эффекта, связанного с длиной инвестиционного горизонта. Поэтому, если мало, изменения ожидаемых темпов инфляции близки к постоянным, и влияние инвестиционного горизонта на размещение в акции может быть существенным для долгосрочных инвесторов по сравнению с краткосрочными и даже среднесрочными инвесторами. С другой стороны, если велико, изменения ожидаемой нормы инфляции весьма непостоянны, и эффекты инвестиционного горизонта, связанные с неопределенностью инфляции могут быть малыми и одинаковой величины для размещения в акции для среднесрочных и долгосрочных инвесторов.
В целом, является ли размещение в акции возрастающей функцией длины инвестиционного горизонта, зависит от знаков и величин двух составляющих в правой части (13). Первая составляющая, как правило, положительна и, следовательно, приводит к большему размещению в акции для инвесторов с более длинным горизонтом. Влияние второй составляющей зависит от способности акций хеджировать долгосрочный инфляционный риск.
Для прогнозирования зависимости оптимального размещения капитала в акции от инвестиционного горизонта и коэффициента относительного неприятия риска построенная модель была калибрована к фондовому рынку США, представленному индексом S&P 500. Использовались данные по доходности индекса S&P 500 в период с марта 1951 по январь 2007 г. [8]. На рис. 1 показаны оптимальные доли капитала, инвестированного в индекс S&P 500 в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска инвестора и длины инвестиционного горизонта. Нетрудно видеть, что размещение в акции растет с ростом инвестиционного горизонта и с уменьшением коэффициента относительного неприятия риска, что находится в полном соответствии с рекомендациями финансовых аналитиков.

 

Рис. 1. Оптимальное размещение капитала в акции как функция инвестиционного горизонта и относительного неприятия риска инвестора:
1 - =8,7; 2 - =4,2; 3 - =2,2

Заключение

 

Итак, в работе предложена непрерывная по времени динамическая стохастическая модель размещения рисковых фондовых активов инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска, на основе которой определена оптимальная стратегия портфельного инвестирования. Инвестиционный набор включает три вида активов различной рисковости: акции, облигации и банковский счет. Динамика цен акций и облигаций описывается стохастическими дифференциальными  уравнениями, а динамика номинальной процентной ставки и темпов инфляции определяется стохастическими процессами Орнштейна-Уленбека с релаксацией. Показано, что оптимальное размещение рисковых активов в стохастической инвестиционной среде может быть представлено в виде спекулятивного портфеля, пропорционального рисковой премии, и портфеля хеджирования рисков, который показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать изменения инвестиционных возможностей. Дана экономическая интерпретация оптимальной стратегии инвестирования. Показано, что предложенная модель может объяснить известные парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкью-Вейла, состоящие в несоответствии теоретических результатов классической портфельной теории рекомендациям профессиональных инвесторов.

 

Библиографический список

  1. Cochrane J.H. Asset pricing. – Princeton: Princeton University Press, 2001.
  2. Sornette D. Why stock markets crash. – Princeton: Princeton University Press, 2002.
  3. Данилов Ю. Новая роль фондового рынка в России // Вопросы экономики. – 2003,  №7. С.  44-56.
  4. Четыркин Е.М. Финансовая математика. – М.: Дело, 2002.
  5. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. – СПб.: Питер, 2000.
  6. Samuelson P.A. The long-tern case for equities and how it can be oversold // Journal of Portfolio Management. – 1994. - V. 21. – P. 15-24.
  7. Cаnner N., Mankiw N.G., Weil D.N. An asset allocation puzzle // American Economic Review. – 1997. – V. 87. – P. 181-191.
  8. Shiller R.J. Irrational exuberance. – Princeton: Princeton University Press, 2008.
 
 

* Выражение (11) формально определено только при . Случай  получается из (11) предельным переходом .



Примечание: № гос. рег. статьи 0421000034/0050

  vakperechen

ОБНОВЛЕННЫЙ СПИСОК ВАК 2016 г.
ОТ 19.04.2016  >> ПРОСМОТРЕТЬ
tass
 
ПО ВОПРОСАМ ПУБЛИКАЦИИ СТАТЕЙ И СОТРУДНИЧЕСТВА ОБРАЩАЙТЕСЬ:
skype SKYPE: vak-uecs
e-mail
MAIL: info@uecs.ru
phone
+7 (928) 340 99 00
 

АРХИВ НОМЕРОВ

(01) УЭкС, 1/2005
(02) УЭкС, 2/2005
(03) УЭкС, 3/2005
(04) УЭкС, 4/2005
(05) УЭкС, 1/2006
(06) УЭкС, 2/2006
(07) УЭкС, 3/2006
(08) УЭкС, 4/2006
(09) УЭкС, 1/2007
(10) УЭкС, 2/2007
(11) УЭкС, 3/2007
(12) УЭкС, 4/2007
(13) УЭкС, 1/2008
(14) УЭкС, 2/2008
(15) УЭкС, 3/2008
(16) УЭкС, 4/2008
(17) УЭкС, 1/2009
(18) УЭкС, 2/2009
(19) УЭкС, 3/2009
(20) УЭкС, 4/2009
(21) УЭкС, 1/2010
(22) УЭкС, 2/2010
(23) УЭкС, 3/2010
(24) УЭкС, 4/2010
(25) УЭкС, 1/2011
(26) УЭкС, 2/2011
(27) УЭкС, 3/2011
(28) УЭкС, 4/2011
(29) УЭкС, 5/2011
(30) УЭкС, 6/2011
(31) УЭкС, 7/2011
(32) УЭкС, 8/2011
(33) УЭкС, 9/2011
(34) УЭкС, 10/2011
(35) УЭкС, 11/2011
(36) УЭкС, 12/2011
(37) УЭкС, 1/2012
(38) УЭкС, 2/2012
(39) УЭкС, 3/2012
(40) УЭкС, 4/2012
(41) УЭкС, 5/2012
(42) УЭкС, 6/2012
(43) УЭкС, 7/2012
(44) УЭкС, 8/2012
(45) УЭкС, 9/2012
(46) УЭкС, 10/2012
(47) УЭкС, 11/2012
(48) УЭкС, 12/2012
(49) УЭкС, 1/2013
(50) УЭкС, 2/2013
(51) УЭкС, 3/2013
(52) УЭкС, 4/2013
(53) УЭкС, 5/2013
(54) УЭкС, 6/2013
(55) УЭкС, 7/2013
(56) УЭкС, 8/2013
(57) УЭкС, 9/2013
(58) УЭкС, 10/2013
(59) УЭкС, 11/2013
(60) УЭкС, 12/2013
(61) УЭкС, 1/2014
(62) УЭкС, 2/2014
(63) УЭкС, 3/2014
(64) УЭкС, 4/2014
(65) УЭкС, 5/2014
(66) УЭкС, 6/2014
(67) УЭкС, 7/2014
(68) УЭкС, 8/2014
(69) УЭкС, 9/2014
(70) УЭкС, 10/2014
(71) УЭкС, 11/2014
(72) УЭкС, 12/2014
(73) УЭкС, 1/2015
(74) УЭкС, 2/2015
(75) УЭкС, 3/2015
(76) УЭкС, 4/2015
(77) УЭкС, 5/2015
(78) УЭкС, 6/2015
(79) УЭкС, 7/2015
(80) УЭкС, 8/2015
(81) УЭкС, 9/2015
(82) УЭкС, 10/2015
(83) УЭкС, 11/2015
(84) УЭкС, 11(2)/2015
(85) УЭкС,3/2016
(86) УЭкС, 4/2016
(87) УЭкС, 5/2016
(88) УЭкС, 6/2016
(89) УЭкС, 7/2016
(90) УЭкС, 8/2016
(91) УЭкС, 9/2016
(92) УЭкС, 10/2016
(93) УЭкС, 11/2016
(94) УЭкС, 12/2016
(95) УЭкС, 1/2017
(96) УЭкС, 2/2017
(97) УЭкС, 3/2017
(98) УЭкС, 4/2017
(99) УЭкС, 5/2017
(100) УЭкС, 6/2017
(101) УЭкС, 7/2017
(102) УЭкС, 8/2017
(103) УЭкС, 9/2017
(104) УЭкС, 10/2017
(105) УЭкС, 11/2017
(106) УЭкС, 12/2017
(107) УЭкС, 1/2018
(108) УЭкС, 2/2018
(109) УЭкС, 3/2018
(110) УЭкС, 4/2018
(111) УЭкС, 5/2018
(112) УЭкС, 6/2018
(113) УЭкС, 7/2018
(114) УЭкС, 8/2018
(115) УЭкС, 9/2018
(116) УЭкС, 10/2018
(117) УЭкС, 11/2018
(118) УЭкС, 12/2018
(119) УЭкС, 1/2019
(120) УЭкС, 2/2019
(03) УЭкС, 3/2019
(04) УЭкС, 4/2019
(05) УЭкС, 5/2019
(06) УЭкС, 6/2019
(07) УЭкС, 7/2019
(08) УЭкС, 8/2019
(09) УЭкС, 9/2019
(10) УЭкС, 10/2019
(11) УЭкС, 11/2019
(12) УЭкС, 12/2019

 Федеральная служба по надзору в сфере связи и массовых коммуникаций

№ регистрации СМИ ЭЛ №ФС77-35217 от 06.02.2009 г.       ISSN: 1999-4516