Создать PDF Рекомендовать Распечатать

 Математические инструменты в управлении и организации производства: методы аналитического прогнозирования состояния процессов

  • Автор (авторы):
    Глущенко В.В., Глущенко П.В.
  • Дата публикации:
    17.09.11
  • № гос.рег.статьи:
    0421100034/0318
  • ВУЗ ИЛИ ОРГАНИЗАЦИЯ:
    Адыгейский государственный университет
    Сочинский государственный университет

Математические инструменты в управлении и организации производства: методы аналитического прогнозирования состояния процессов

 

Глущенко В.В.

Адыгейский государственный университет, профессор

кафедры  экономики и управления, доктор технических

наук, профессор, академик РАЕН,  

e-mail:vitavas44@yandex.ru

 

Глущенко П.В.

Сочинский государственный университет,  доцент кафедры

информационных технологий, кандидат технических наук,

доцент, член-корреспондент РАЕН,  

e-mail: pglout@yandex.ru 

     В работе рассмотрены актуальные аспекты исследования управления и организации производства с использованием математических методов аналитического прогнозирования состояния процессов. Результаты такого научного предвидения позволяют формировать базу знаний, используемую в принятии управленческих решений в деле организации, инновационного развития производства с целью повышения  его эффективности.

Ключевые слова: управление; организация производства; система, объект; прогнозирование; параметры; процесс; функция.

 Mathematical techniques in management and organization of production: methods of analytical production of processes status.

     In the paper were described actual aspects of research of control and production management using mathematical methods of analytical prediction of processes status. Results of this scientific prevision allow to form knowledge base, which is used in management decision making in the administration of the organization, innovative production development for the purpose of the increase of its effectiveness.

    Key words: management; organization of production; system, object; prediction; characteristics; process; function.

     При исследовании и/или формировании управления и организации производства  возможные изменение состояния  большинства последних, с позиций системного и процессного подходов[1,2,3], полагаем необходимым рассматривать как процесс, характеризуемый изменениями некоторого множества параметров и компонент. И число их целесообразно определять такой совокупностью параметров,  контроль которых позволяет достаточно полно представить процесс изменения состояния работоспособности производства как системы и/или составляющих ее подсистем.

 

Состояние системы, на наш взгляд, наиболее адекватно характеризовать [1,3]  вектором в k-мерном пространстве, где координатами пространства служат k параметров системы xs, s=1, 2, .., k. Положение вектора состояния в пространстве при этом будет определять некоторую степень работоспособности системы, важнейшего показателя эффективности производства. В период функционирования (эксплуатации) степень работоспособности системы изменяется, вследствие чего точка – конец вектора в пространстве состояний

перемещается, и ее местонахождение определяется значениями k параметров.

При  прогнозировании целесообразно выделить области, соответствующие определенным степеням работоспособности, и        определить        границу      допустимого    уровня работоспособности. Таким образом, возникает задача, заключающаяся в предварительном периодическом контроле параметровxs(t), являющихся функциями времени, определении в моменты tiIT1 контроля функции состояния  и расчете значений функции Q(x) состояния в области значений времени Т2>Т1.При этом, чем дальше  будет расположен вектор состояния от гиперповерхности допустимых значений степени работоспособности Q(x*), тем выше степень работоспособности исследуемой системы. Чем меньше разность , тем ниже уровень работоспособности. Степень работоспособности системы тем ниже, чем больше вектор скорости, определенный в момент контроля, и чем ближе направление х к перпендикуляру к гиперповерхности х*.

Использование методов аналитического прогнозирования предполагает в определенной мере регулярность изменения компонентов процесса во времени. Под алгоритмом прогнозирования  процессов будем понимать[1,3] такую систему вычислительных операций, которая строго предопределяется сложившейся ситуацией. Иначе говоря, в одинаковых ситуациях используется один и тот же алгоритм в противоположность алгоритмам прогнозирования случайных процессов, которые допускают неодинаковую систему вычислительных операций в идентичных ситуациях (задачах). Рассмотрим [1,3] основные методы аналитического прогнозирования.

1.Метод обобщенного параметра. Идея метода обобщенного параметра при прогнозировании заключается[1,3] в том, что процесс, характеризуемый многими компонентами, описывается одномерной функцией, численные значения которой зависят от контролируемых компонентов процесса. Такая функция рассматривается как обобщенный параметр процесса. При этом может оказаться, что обобщенный параметр не имеет конкретного физического смысла, а является математическим выражением, построенным искусственно из контролируемых компонентов прогнозируемого процесса.

При обобщении параметров, характеризующих степень работоспособности той или иной подсистемы производства, представляемой ее средствами, необходимо решить следующие задачи: определение относительных значений первичных параметров, т.е. параметров узлов; оценка значимости первичного параметра для оценки состояния подсистемы или всего производства (системы); построение математического выражения для обобщенного параметра.

Определение относительных значений первичных параметров необходимо в связи с тем, что состояние объекта исследования может характеризоваться параметрами, имеющими различную размерность. Поэтому все контролируемые первичные параметры следует привести к единой системе исчисления, в которой они могут быть сравнимыми. Таковой же является система безразмерного (нормированного) относительного исчисления.Реально для каждого параметра xs, s = 1, 2, ..., k  можно выделить допустимое значение , при достижении которого объект теряет работоспособность, и оптимальное с точки зрения надежности значение xsопт (зачастую оно равно номинальному значению xsн).

Пусть в процессе эксплуатации объекта соблюдается условие xs(t)> . Если, xs(t)<  достаточно ввести вместо xs(t) новый параметр      и     тогда    для будет соблюдаться требуемое условие.

Запишем безразмерный (нормированный) параметр в виде

             (1)

где , причем при xs(t) = xsопт, а при .

Таким образом, с помощью выражения (1) нормируется параметр xs(t), а

 безразмерная нормированная величина изменяется с течением времени от 1

 до 0. Отсюда по величине можно судить о степени работоспособности объекта по данному параметру. Теоретически может быть, но это означает, что на практике объект неработоспособен.

Можно указать различные нормирующие выражения, которые оказываются при решении частных задач, например:

    = xs(t)/ или < = xs(t)/              (2)

   = xs(t)/,  <= xs(t)/

  = (xs(t) - xsТУ)/xsТУs = 1, 2, ..., k                            (3)

гдеx(t), xs0, xsmaxmax, xsТУ, mxs - соответственно текущее, нулевое, максимум- максимум, заданное по ТУ значения и математическое ожидание s-го параметра.

Использование нормирующих выражений позволяет получить совокупность безразмерных величин, которые характеризуют состояние объекта. Однако, количественно одинаковое изменение этих величин не является равнозначным по степени влияния на изменение работоспособности объекта, поэтому необходимо дифференцировать первичные параметры. Этот процесс осуществляется с помощью весовых коэффициентов, величины которых характеризуют важность соответствующих параметров для физической сущности задачи. Пусть в таком случае параметрам объекта х1, х2, ..., хk соответствуют весовые коэффициенты n1, n2, ..., nk, удовлетворяющие тем или иным заданным критериям, причем 0<ns<1.

Степень работоспособности объекта по множеству контролируемых параметров можно оценить с помощью обобщающего выражения

              (4)

где QS- обобщенный параметр объекта.

Выражение (4) представляет собой линейное среднее, которое обладает

следующим свойством (будем считать его необходимым для любого обобщенного критерия):

         

Из определения обобщенного параметра следует, что чем больше величины  и nsтем больше вклад s-го слагаемого (параметра) в QS(t), что соответствует и физическому  смыслу. Однако весовые коэффициенты nsмогут выбираться не только из рассмотрения физической значимости s-го параметра, но и с учетом флюктуаций  в функциях  и QS(t).

Обобщенный параметр можно определить с помощью выражения вида

         (5)

которое представляет собой нелинейное среднее. Здесь также QS(t)=1 при всех =1. Кроме того, чем больше  и ns, тем больший вклад вносит слагаемое  в величину QS(t).

Заслуживает внимания и другой вариант нелинейного среднего:

                     (6)

где при =1, s=1, 2, ..., kQS(t)=1.

Чем больше  иns, тем больший вклад вносит слагаемое  в обобщенный параметр QЧем больше  иns, тем больший вклад вносит слагаемое  в обобщенный параметр QS(t).

Для определения обобщенного параметра можно использовать выражение для параметрического среднего:

          ,          (7)

где p?1 подбирается так, чтобы критерий (7) давал лучшее приближение к

результатам, полученным экспериментальным путем. Количественно р

определяется на стадии обучения математических моделей прогнозирования.

Обобщенные выражения позволяют определить запас работоспособности многопараметрического объекта и проследить характер изменения работоспособности во времени. Матрица информации, создаваемая в ходе исследования, после нормировки и обобщения запишется в виде

                                    (8)

Таким образом, задачу прогнозирования изменения работоспособности многопараметрического объекта, как уже говорилось, можно свести к прогнозированию одномерной временной функции вида (8).

2.                  Метод прогнозирования одномерных временных рядов. На практике прогнозируемые процессы можно представить в виде временного ряда чисел, определяющих их характер[1,3]. При этом результат прогнозирования получаем в виде одного числа. Иногда и прогнозирование многомерного процесса можно свести к этому случаю, если рассматривать характер изменения его компонентов в отдельности.Кроме того, существует   достаточно   много    задач,    когда     требуется осуществить прогнозирование отдельных временных функций (параметров). В этом случае постановка задачи принципиально ничем не отличается от ранее сформулированной, только речь будет идти об одном временном ряде.

          При  индивидуальном прогнозировании следует анализировать отдельные строки создаваемой информационной матрицы или пересчитывать ее во временной ряд (8), а при групповом прогнозе исследуют строки матрицы математических ожиданий. Например, в результате контроля выбранного параметра объекта получен ряд значений x(t0), x(t1), ..., x(ti), ..., x(tn),  соответствующих моментам времени t0, t1, ..., ti, ...,tn, взятым  через постоянный интервал  Dt в известный   период эксплуатации Т1.  Требуется  на основе известных значений  вычислить значения параметра x(tn+1), ..., x(n+j), ..., x(tn+m) в будущие моменты времени tn+jIT2,   j=1,2, ..., m, где T2 - предстоящий период эксплуатации объекта.

При такой постановке задачи основным является построение такого аналитического выражения W(t), которое давало бы минимальную ошибку прогноза. Каким бы, однако, ни было полученное выражение, в области Т1 необходимо соблюсти условия

                    (9)

Выполнение условия (9) позволяет с помощью прогнозирующего   выражения   учесть   тенденцию  изменения   x(t)  в  интервале [t0 ... tn]. Область времени Т1, где известно изменение x(t), вообще говоря, используется для обучения математической модели прогнозирования, т.е. для количественного определения неизвестных коэффициентов модели, которые оптимальны для решения именно отдельной рассматриваемой задачи. При этом следует отметить, что насколько точно будут найдены неизвестные коэффициенты, настолько точен будет и результат прогнозирования.

Условие (9) не является столь строгим и практически всегда выполнимо, если пользоваться методами теории интерполяции. Более сложным для выполнения является другое условие, накладываемое на прогнозирующую   модель   в   области  значений     аргументов     T2 = tn+1 ... tn+m:

                            (10)

где ej - заданная  (допустимая) ошибка прогнозирования на j-ом шаге.

Соблюдение требования (10)    с   минимальнымиej    приводит    к    наиболее эффективным выражениям для прогнозирования.Для конкретных задач необходимо вводить дополнительные условия, которые определяются различными физическими условиями и позволяют провести более точные вычисления. Можно ввести разнообразные ограничения, использующие, например, уменьшение со временем запаса работоспособности технических объектов, которое количественно выражается изменением значений параметров.

Таким образом, и  сформулировано  одно из ограничений, которое применимо ко многим   задачам:   величина x(t) должна с течением времени убывать (возрастать). Тогда из-за  прогнозирующее выражение в области Т2 должно удовлетворять условию

                     (11)

Для того чтобы коэффициенты модели W(t) учитывали условие (11), они должны удовлетворять системе неравенств

         ,              (12)

в результате решения которой, совместно с системой (10), методами линейного программирования можно вычислить коэффициенты прогнозирующего выражения.

Часто вводят ограничение другого типа: значения параметра x(tn+j) не должны превышать какой-то величины cj. Тогда вместо системы (12) получим W(tn+j)<cj, j = 1, 2, ..., m. Дополнительные условия позволяют расширить возможности методов прогнозирования, разнообразить их, а также повысить точность прогнозирования при ограниченном числе данных.

Выбор и построение аналитического выражения для прогнозирования является одним из основных вопросов, который принципиальным образом влияет на конечный результат. При этом к прогнозирующему выражению предъявляются следующие два требования: оно должно быть только индивидуально детерминированным и содержать элемент адаптации, используемый в процессе решения задачи.Здесь не говорится о простоте вычислений, точности и др., ибо эти условия очевидны и остаются всегда при

 решении подобных вопросов. Первое требование имеет в виду возможность учета, прогнозирующей формулой, индивидуальных особенностей каждой отдельной задачи, приспособливаемости к новой задаче, выражающееся в способе вычисления неизвестных коэффициентов, отбрасывании ненужных членов и т.д. Второе требование подразумевает необходимость введения в окончательный вид аналитического выражения членов (коэффициентов) адаптации, которые бы вычислялись и корректировались в процессе решения задачи.

В качестве подобных выражений, используемых для прогнозирования величины контролируемых параметров, полагаем возможным использовать и различные полиномиальные и степенные многочлены, аппроксимирующие выражения, элементарные временные функции и т.п.Наиболее общее выражение, которое можно использовать в качестве модели прогнозирования представим следующим образом:

                             (13)

где ar=f[x(ti)] - неизвестные коэффициенты, r= 0, 1, ..., m;   tiIT1jr(t) - временные функции простейшего вида. При j0(t)=1, j1(t)=trj2(t)=t2 , ...,jm(t)=tm выражение (13) примет вид

         

В качестве базовых можно использовать следующие выражения:

а) преобразованную интерполяционную формулу Лагранжа

где

 

- коэффициенты Лагранжа; m - число шагов прогнозирования; i; j - индексы

интервалов времени в Т1 и Т2;

б) вторую интерполяционную формулу Ньютона, которая после преобразования имеет  следующий вид:

          

         где            

- коэффициенты Ньютона.

3. Метод применения элементарных функций для прогнозирования изменения параметров объектов.Элементарные математические функции с успехом применяются при решении многих практических задач. Анализ кривых изменения параметров отдельных элементов, приборов и узлов систем говорит о возможности их аппроксимации сравнительно простыми выражениями.

Это объясняется тем, что при изменениях параметров этих элементов преобладает необратимая составляющая, которая в основноми определяет закономерность изменения параметра и носит характер близкийк детерминированному, квазидетерминированному или иначе почти детерминированному.Каждый параметр объекта исследования является[1,3] количественным выражением тех физических процессов, которые протекают в нем. Однако для большинства элементов и приборов функциональную зависимость параметра от указанных процессов практически невозможно определить в  связи со сложностью и мало изученностью  их. Если же процессы во времени принимают и носят устойчивый характер, то на закономерности изменения параметра это скажется определенным образом, т.е. параметр х будет изменяться со временем t и можно рассматривать его как  x=f(t). Аргументом, по которому осуществляется прогнозирование, может быть не только время, но и другие факторы: температура, частота вибрации, число срабатыванийи т.д.

Отдельно взятая функция x(t) является однозначной, так как каждому значению аргумента t соответствует одно значения х. Областью определения функции является правая полуплоскость прямоугольной системы координат[x, t] , где t>0.  По оси   ординат   область    ограничена     допустимыми величинами   и   , но зачастую в задаче важен какой-то один допуск.

Рассмотрим некоторые элементарные функции [1,3] и возможность применения их для аналитического прогнозирования:

3.1 Линейная функция.Она в записи имеет следующий вид

          F(x, t) = at,        (14)

где a = f[x(ti)], tiIT1,   i = 0, 1, 2, ..., n, представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, наиболее часто из точки x=0, t=0 берут свое начало относительные (процентные) изменения значений параметров x(t). Неизвестный коэффициент а определяет величину и знак угла наклона прямой, т.е. скорость изменения контролируемого параметра  или тангенс угла наклона а прямой к оси времени. На практике скорость изменения x(t) не является постоянной, поэтому точность прогноза зависит от того, насколько вычисленнаяа близка к реальной.

Более общее выражение линейной функции имеет вид

         F(x, t) = b+at                (15)

где   b = f[x(t0)] характеризует начальное значение параметра x(t), b><0.

Учитывая все сказанное относительно коэффициентаа в (14), отметим, что величины а и b в общем случае являются случайными величинами. При периодическом контроле они уточняются на каждом шаге.При прогнозировании а иb можно вычислить по двум последним значениям параметра x(tn-1) и x(tn) и тогда   где   - первая конечная разность.При прогнозировании на несколько шагов вперед, тем более на один интервал контроля, линейная функция (15) является весьма эффективной, так как часто технические параметры на отдельных участках достаточно хорошо аппроксимируются прямыми.

3.2 Квадратичная функция. В общем случае она имеет вид

           F(x, t)=ct2+at+b            (16)

гдеc=f[x(ti)]?0,   tiIT1,   i=0, 1, 2, ..., n.

Из (16) можно получить частные выражения при следующих условиях:

a?0, b=0; a=0, b?0, a=0, b=0.

Коэффициент с идентичен ускорению процесса, иными словами, его  второй производной. Величина с может быть как положительной, так и отрицательной, что соответствует увеличению или уменьшению скорости старения и износа. Если коэффициенты с и а одного знака, функция (16) не имеет экстремума; он появляется при разнополярных с и а. Анализируя коэффициенты с (вторую производную), можно сделать вывод о выпуклости или вогнутости кривой x(t). Применение выражения (16) особенно целесообразно тогда, когда в изменениях x(t) наблюдается определенная нелинейность, и с течением времени параметр изменяется по параболическому закону.

3.3 Кубическая функция. Для аппроксимации кривых изменения x(t) функция

            F(x, t) = dt3+ct2+at+b                                 (17)

где, d = f [x(ti)] ? 0, tiIT1, i = 0, 1, 2, ..., n, используется значительно реже. Однако с ее помощью можно определить величину, важную для прогнозирования.

          Выражение (17) указывает на практическую границу закономерности изменения x(t). Анализ некоторых экспериментальных данных показывает, что в большинстве случаев   уравнение (17) представляет собой своего рода гарантированную границу изменения работоспособности  объектов.

3.4 Дробно-рациональная функция. В общем виде функция

                               (18)

мало пригодна для прогнозирования, но получаемые из нее простыми преобразованиями элементарные выражения также можно использовать.

Обратно пропорциональная зависимость  графически представляет собой гиперболу, которая нередко встречается на практике. Аналогичный характер изменения имеет и дробно-линейная функция .У некоторых объектов кривые изменения параметров x(t) имеют точку перегиба, т.е. вторая производная x’’(t) меняет знак. Такие функции трудно аппроксимировать и экстраполировать, поэтому в общем наборе элементарных функций желательно иметь такую, которая позволяет моделировать изменение параметра. Подобную зависимость имеет график простейшей дроби . Во всех приведенных дробных выражениях коэффициенты a и b являются функциями (ti), tiIT1.

3.5 Показательная функция. Весьма распространенной на практике является зависимость:         F(x,t) = b[act],         (19)

где a, b, c = f[x(ti)] - неизвестные  коэффициенты, а>0. Если вместо а в (19) ввести экспоненту, то получим экспоненциальную функциюF(x, t) = bect, где знаки коэффициент ов b и c определяются характером изменения x(t).

      В заключении отметим, что рассмотренныеосновные методы аналитического прогнозирования процессов являются важнейшими составляющими математических инструментов, позволяющих иметь в итоге  исследования управления и организации производства научное предвидение – основу для принятия решения о конкретных путях развития управленческо-хозяйственных систем, повышения эффективности их функционирования.

 

Литература

1. Глущенко В.В. Прогнозирование. –  М.: Вузовская книга, 2006

2. Варжапетян А.Г., Глущенко В.В., Глущенко П.В. Системность процессов создания и диагностики технических структур. –  СПБ.: Политехника, 2004

3. Глущенко П.В.Техническая диагностика. Моделирование в диагностировании и прогнозировании состояния технических объектов. –  М.: Вузовская книга, 2004 

  vakperechen

ОБНОВЛЕННЫЙ СПИСОК ВАК 2016 г.
ОТ 19.04.2016  >> ПРОСМОТРЕТЬ
tass
 
ПО ВОПРОСАМ ПУБЛИКАЦИИ СТАТЕЙ И СОТРУДНИЧЕСТВА ОБРАЩАЙТЕСЬ:
skype SKYPE: vak-uecs
e-mail
MAIL: info@uecs.ru
phone
+7 (928) 340 99 00
 

АРХИВ НОМЕРОВ

(01) УЭкС, 1/2005
(02) УЭкС, 2/2005
(03) УЭкС, 3/2005
(04) УЭкС, 4/2005
(05) УЭкС, 1/2006
(06) УЭкС, 2/2006
(07) УЭкС, 3/2006
(08) УЭкС, 4/2006
(09) УЭкС, 1/2007
(10) УЭкС, 2/2007
(11) УЭкС, 3/2007
(12) УЭкС, 4/2007
(13) УЭкС, 1/2008
(14) УЭкС, 2/2008
(15) УЭкС, 3/2008
(16) УЭкС, 4/2008
(17) УЭкС, 1/2009
(18) УЭкС, 2/2009
(19) УЭкС, 3/2009
(20) УЭкС, 4/2009
(21) УЭкС, 1/2010
(22) УЭкС, 2/2010
(23) УЭкС, 3/2010
(24) УЭкС, 4/2010
(25) УЭкС, 1/2011
(26) УЭкС, 2/2011
(27) УЭкС, 3/2011
(28) УЭкС, 4/2011
(29) УЭкС, 5/2011
(30) УЭкС, 6/2011
(31) УЭкС, 7/2011
(32) УЭкС, 8/2011
(33) УЭкС, 9/2011
(34) УЭкС, 10/2011
(35) УЭкС, 11/2011
(36) УЭкС, 12/2011
(37) УЭкС, 1/2012
(38) УЭкС, 2/2012
(39) УЭкС, 3/2012
(40) УЭкС, 4/2012
(41) УЭкС, 5/2012
(42) УЭкС, 6/2012
(43) УЭкС, 7/2012
(44) УЭкС, 8/2012
(45) УЭкС, 9/2012
(46) УЭкС, 10/2012
(47) УЭкС, 11/2012
(48) УЭкС, 12/2012
(49) УЭкС, 1/2013
(50) УЭкС, 2/2013
(51) УЭкС, 3/2013
(52) УЭкС, 4/2013
(53) УЭкС, 5/2013
(54) УЭкС, 6/2013
(55) УЭкС, 7/2013
(56) УЭкС, 8/2013
(57) УЭкС, 9/2013
(58) УЭкС, 10/2013
(59) УЭкС, 11/2013
(60) УЭкС, 12/2013
(61) УЭкС, 1/2014
(62) УЭкС, 2/2014
(63) УЭкС, 3/2014
(64) УЭкС, 4/2014
(65) УЭкС, 5/2014
(66) УЭкС, 6/2014
(67) УЭкС, 7/2014
(68) УЭкС, 8/2014
(69) УЭкС, 9/2014
(70) УЭкС, 10/2014
(71) УЭкС, 11/2014
(72) УЭкС, 12/2014
(73) УЭкС, 1/2015
(74) УЭкС, 2/2015
(75) УЭкС, 3/2015
(76) УЭкС, 4/2015
(77) УЭкС, 5/2015
(78) УЭкС, 6/2015
(79) УЭкС, 7/2015
(80) УЭкС, 8/2015
(81) УЭкС, 9/2015
(82) УЭкС, 10/2015
(83) УЭкС, 11/2015
(84) УЭкС, 11(2)/2015
(85) УЭкС,3/2016
(86) УЭкС, 4/2016
(87) УЭкС, 5/2016
(88) УЭкС, 6/2016
(89) УЭкС, 7/2016
(90) УЭкС, 8/2016
(91) УЭкС, 9/2016
(92) УЭкС, 10/2016
(93) УЭкС, 11/2016
(94) УЭкС, 12/2016
(95) УЭкС, 1/2017
(96) УЭкС, 2/2017
(97) УЭкС, 3/2017
(98) УЭкС, 4/2017
(99) УЭкС, 5/2017
(100) УЭкС, 6/2017
(101) УЭкС, 7/2017
(102) УЭкС, 8/2017
(103) УЭкС, 9/2017
(104) УЭкС, 10/2017
(105) УЭкС, 11/2017

 Федеральная служба по надзору в сфере связи и массовых коммуникаций

№ регистрации СМИ ЭЛ №ФС77-35217 от 06.02.2009 г.       ISSN: 1999-4516